Zadanie 1.[-] Oblicz pochodnÄ… funkcji $f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$.
Zadanie 2.[-] Oblicz pochodnÄ… funkcji $g(x) = e^x\cos(x)$.
Zadanie 3.[-] Oblicz pochodnÄ… funkcji $h(x) = \frac{1}{x^2}$.
Zadanie 4.[-] Oblicz pochodnÄ… funkcji $i(x)= \sin(x^2)$.
Zadanie 5.[-] Oblicz pochodną funkcji $j(x, y) = x^3 + y^2 +xy$ względem obu zmiennych (czyli najpierw uznając $x$ za zmienną, a $y$ za stałą/parametr, a potem odwrotnie). Wyznacz gradient tejże funkcji.
Zadanie 6.[-] Oblicz gradient funkcji $k(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$.
Zadanie 7.[-] Oblicz gradient funkcji $l(x, y, z) = ReLU(e^{xyz}).$
Zadanie 8.[-] Oblicz gradient funkcji $m(x, y, z) = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2}$.
Zadanie 9.[-] Zdefiniujmy parÄ™ funkcji $n_i(x,y) = x^i + y^i$ dla $i=1,2$. Oblicz gradienty obu funkcji.
Zadanie 10. Niech $A$ będzie macierzą $n\times n$ oraz $X=\cone{x_1, x_2, \ldots, x_n}^T$. Zapisz wartość funkcji $f(X) = AX$ w postaci wektora i oblicz gradienty.
Zadanie 11. Niech $A$ będzie macierzą $n\times m$ oraz $X=\cone{x_1, x_2, \ldots, x_m}^T$. Zapisz wartość funkcji $f(X) = AX$ w postaci wektora i oblicz gradienty.
Zadanie 12. Niech $A$ będzie macierzą $n\times m$ oraz $X=\cone{x_1, x_2, \ldots, x_m}^T$. Zapisz wartość funkcji $f(X) = X^T A$ w postaci wektora i oblicz gradienty.
Zadanie 13. Niech $A$ będzie macierzą $n\times m$ oraz $X=\cone{x_1, x_2, \ldots, x_m}^T$. Zapisz wartość funkcji $f(X) = X^T A X$ w postaci wektora i oblicz gradienty.
Zadanie 14.[-] Znajdź macierz, która wektor $\cone{1,0}^T$ przerzuca na $\cone{1,-1}^T$, a wektor $\cone{0,1}^T$ na $\cone{1,1}^T$.
Zadanie 15.[-] Znajdź macierz, która wektor  $\cone{1,-1}^T$ przerzuca na $\cone{1,0}^T$, a wektor $\cone{1,1}^T$ na $\cone{0,1}^T$.
Zadanie 16.[-] Znajdź macierz rzutu płaszczyzny na oś poziomą.
Zadanie 17. Znajdź macierz rzutu pÅ‚aszczyzny na prostÄ… o równaniu $x+y=0$. Wskazówka: Koniecznie skorzystaj z poprzednich trzech zadaÅ„.
Zadanie 18. Prosta o równaniu $3x+2y=0$ daje się zapisać jako $\{tX: t\in \R\}$ dla pewnego wektora $X$. Znajdź wektor $X$.
Zadanie 19. Znajdź wszystkie wektory prostopadłe do wektora $\cone{2,7}^T$. 
Zadanie 20. Znajdź macierz rzutu płaszczyzny na prostą o równaniu $ax+by=0$. 
Zadanie 21. Znajdź macierz, która przerzuca wektor $\cone{1,2}^T$ na $\cone{3,4}^T$, a wektor $\cone{5,6}^T$ na $\cone{7,8}^T$.
Zadanie 22.[-] Zdiagonalizuj kilka losowych macierzy. 
Zadanie 23. Czy istnieje taka macierz $A$ wymiaru $2\times 2$ o wyrazach wymiernych, że $A\neq I$, ale $A^2 = I$?
Zadanie 24. Czy istnieje taka macierz $A$ wymiary $3\times3$ o wyrazach wymiernych, że $A \neq I$, ale $A^3 = I$? 
Zadanie 25. Znajdź nieidentycznościową macierz $A$ wymiaru $5\times 5$ o wyrazach całkowitych, dla której $A^n=I$ zachodzi dokładnie wtedy, gdy $n$ jest wielokrotnością 6. 
Zadanie 26. Dane sÄ… takie macierze kwadratowe $A, B$ rozmiaru $7\times7$ o wyrazach
rzeczywistych, że macierz $A$ jest macierzą diagonalną mającą na przekątnej 7 różnych
wyrazów, a ponadto $AB = BA$. Dowieść, że macierz B również jest macierzą diagonalną.
Zadanie 27. Niech $\mathbf{y}$ będzie wektorem zmiennych prognozowanych, a $\mathbf{X}$ macierzą zmiennych objaśniających. Chcemy znaleźć wektor współczynników $\mathbf{\theta}$, który minimalizuje funkcję kosztu $J(\mathbf{\theta}) = \sum \left(\mathbf y_i - \mathbf{\theta}^T \mathbf{x}_i\right)^2$.
    a) Jaka jest interpretacja funkcji kosztu $J(\mathbf{\theta})$?
    b) Znajdź macierzowy zapis funkcji $J(\mathbf{\theta})$.
    c) Znajdź gradient funkcji $J(\mathbf{\theta})$.
    d) Znajdź wektor $\mathbf{\theta}$, dla którego funkcja $J(\mathbf{\theta})$ jest minimalna.
    e) Czy znaleziony wektor $\mathbf{\theta}$ jest jedyny?