    Zadanie 1. Dla $a, b \in \Z$ niech $X$ będzie zmienną losową o rozkładzie beta z parametrami $a$ i $b$.
        a) Wyznacz $\E[X]$.
        b) Wyznacz $\Var(X)$.
        c) Wyobraź sobie, że w definicji rozkładu beta nie ma czynnika normującego. Wyznacz całkę z takiej pseudogęstości. Wskaz�wka: Nie powinno być zaskoczeniem, że otrzymasz odwrotność czynnika normującego, ale w bardziej przystępnej postaci.
    Zadanie 2. Niech $X$ będzie zmienną losową o następującym rozkładzie:
        $x$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\
        \hline
        $\P(X = x)$ & $\frac{2p}{3}$ & $\frac{p}{3}$ & $\frac{2-2p}{3}$ & $\frac{1-p}{3}$
    Wylosowano następujące próbki: $0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3$. Znajdź MLE dla $p$.
    Zadanie 3. Niech $x_1, x_2, \ldots, x_n$ będą niezależnymi obserwacjami z rozkładu jednostajnego na przedziale $[0, \theta]$. Znajdź MLE dla $\theta$.
    Zadanie 4. Niech $x_1, x_2, \ldots, x_n$ będą niezależnymi obserwacjami z rozkładu wykładniczego z parametrem $\lambda$. Znajdź MLE dla $\lambda$.
    Zadanie 5. Niech $x_1, x_2, \ldots, x_n$ będą niezależnymi obserwacjami z rozkładu $\NN(\mu, \sigma^2)$. Znajdź MLE dla $\mu$ i $\sigma^2$.
    Zadanie 6. Niech $x_1, x_2, \ldots, x_n$ będą niezależnymi obserwacjami z rozkładu Poissona z parametrem $\lambda$. Znajdź MLE dla $\lambda$.
Zadanie 7. Znajdź rozkład a posteriori parametrów $\theta$ w modelu Bernoulliego z jednym rzutem, jeśli a priori $\theta \sim \text{Beta}(2, 3)$, a rzut zakończył się: 
    a) sukcesem,
    b) porażką.
Zadanie 8. Niech $X$ będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem $\lambda$. Załóżmy, że $\lambda$ ma rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach a priori wynoszących $\frac{1}{3}$ dla $\lambda = 1$ i $\frac{2}{3}$ dla $\lambda = 2$. Wyznacz rozkład a posteriori $\lambda$ po obserwacji $X = 2, 3, 4, 5, 6$.
Zadanie 9. Niech $X$ będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale $[0, \theta]$, gdzie $\theta > 0$ jest nieznanym parametrem. Załóżmy, że a priori $\theta$ ma rozkład wykładniczy z parametrem $\lambda = 1$. Wyznacz rozkład a posteriori $\theta$ po obserwacji $X = 2$.
Zadanie 10. W teleturnieju dostajesz dwie koperty. Jedna z nich zawiera pewną kwotę, a druga dwukrotność tej kwoty. Możesz wybrać jedną kopertę i zatrzymać zawartość, lub zamienić koperty i zatrzymać zawartość nowej koperty. Co opłaca się zrobić? Czy ma to sens? Wskaz�wka: Spoiler: niezbyt. Jak to naprawić? Napraw i przy wybranych przez siebie założeniach powiedz, co opłaca się zrobić.
Zadanie 11. Niech $\langle 0, 1, 1, 0, 1 \rangle$ będzie próbą zmiennej losowej $X$ o rozkładzie Bernoulliego z parametrem $\theta$. Znajdź taki rozkład a priori, żeby a posteriori $\theta = \frac12$ i $\theta = \frac{7}{10}$ były równie prawdopodobne. Wskaz�wka: Oczywiście istnieje rozwiązanie trywialne, ale bądźmy kreatywni.